Come trovare i punti di flesso

Contenuto

• stadi
• Metodo 1 Comprendere i punti di flesso
• Metodo 2 Trova le derivate di una funzione
• Metodo 3 Trova un punto di flesso

Nel calcolo differenziale, un punto di flesso è un punto di una curva in cui il segno della concavità cambia (da più à meno o meno à più). È utilizzato in varie discipline, tra cui ingegneria, economia e statistica, per determinare cambiamenti fondamentali nei dati. Per informazioni su come trovare i punti di flesso, andare al passaggio 1 di seguito.

stadi

Metodo 1 Comprendere i punti di flesso

1. 
   

   
   Comprendi le funzioni concave. Per comprendere i punti di flesso, è necessario sapere come distinguere le funzioni concave dalle funzioni convesse. Una funzione concava è una funzione in cui nessuna linea che unisce due punti sul suo grafico passa sopra il grafico.

2. 
   

   
   Comprendi le funzioni convesse Una funzione convessa è essenzialmente l'opposto di una funzione concava: è una funzione in cui nessuna linea che unisce due punti sul suo grafico passa sotto il grafico.

3. 
   

   
   Comprendi le radici di una funzione. La radice di una funzione è il punto in cui la funzione annulla o è uguale a 0.
   • Se devi disegnare una funzione, le radici sarebbero i punti in cui la funzione tocca l'asse x.

Metodo 2 Trova le derivate di una funzione

1. 
   

   
   
   
   Trova la prima derivata della funzione. Prima di trovare un punto di flesso, è necessario trovare le derivate della funzione. Le formule derivate per le funzioni di base possono essere trovate in qualsiasi calcolo e. Devi impararli prima di passare ad esercizi più complessi. I primi derivati ​​sono indicati con f (x). Per le espressioni polinomiali nella forma axp + bx (p-1) + cx + d, la prima derivata è apx (p-1) + b (p-1) x (p-2) + c.
   • Per illustrare, supponiamo di dover trovare il punto di flessione della funzione f (x) = x3 + 2x-1. Calcola la prima derivata di questa funzione come segue:
     
     f? (x) = (x3 + 2x - 1) = (x3) + (2x) - (1) = 3x2 + 2 + 0 = 3x2 + 2
2. Trova la seconda derivata. La seconda derivata rappresenta la prima derivata della prima derivata della funzione, indicata con f (X).

   
   

   
   
   • Nell'esempio sopra, calcola la seconda derivata della funzione come segue:
     
     f (x) = (3x2 + 2) = 2 × 3 × x + 0 = 6x

3. 
   

   
   
   
   Annulla la seconda derivata. Metti la seconda derivata uguale a zero e risolvi l'equazione. La tua risposta sarebbe probabilmente un punto di flesso.
   • Nell'esempio seguente, il calcolo sarebbe il seguente:
     
     f (x) = 0
     6x = 0
     x = 0

4. 
   

   
   Trova la terza derivata della funzione. Per scoprire se la tua risposta è effettivamente un punto di flesso, trova la terza derivata che è la prima derivata della seconda derivata della funzione e che è indicata da (X).
   • Nell'esempio sopra:
     
     f (x) = (6x) = 6

Metodo 3 Trova un punto di flesso

1. 
   

   
   Valuta il terzo derivato. La regola standard per valutare un possibile punto di flesso è: se la terza derivata non è uguale a 0, il probabile punto di flesso è effettivamente un punto di flesso. Valuta la tua terza derivata, se non è uguale a 0, quindi il punto è in realtà un punto di flesso.
   • Nell'esempio sopra, la terza derivata è 6 e non 0. Questo è in realtà un punto di flesso.

2. 
   

   
   Trova il punto di flesso. La coordinata del punto di flesso è indicata (x, f (x)), con x il valore del punto variabile nel punto di flesso e f (x) il valore della funzione nel punto di flesso.
   • Nell'esempio sopra, ricorda che quando hai calcolato la seconda derivata, x ha dato 0. Quindi devi calcolare f (0) per determinare le tue coordinate. Il tuo calcolo sarebbe simile al seguente:
     
     f (0) = 03 + 2 × 0-1 = -1.

3. 
   

   
   Nota le coordinate. Le coordinate del punto di flesso sono: il valore di x e la risposta trovata sopra.
   • Nell'esempio sopra, le coordinate del punto di flesso sono (0, -1).