Come risolvere le equazioni logaritmiche

Contenuto

• stadi
• Preliminare: sapere come trasformare un'equazione logaritmica in un'equazione con poteri
• Metodo 1 Trova x
• Metodo 2 Trova x utilizzando la regola del prodotto logaritmico
• Metodo 3 Trova x usando t la regola del quoziente logaritmico

Le equazioni logaritmiche non sono, a prima vista, le più facili da risolvere in matematica, ma possono essere trasformate in equazioni con esponenti (notazione esponenziale). Quindi, se riesci a fare questa trasformazione e se padroni il calcolo con i poteri, dovresti facilmente risolvere questo tipo di equazioni. NB: il termine "log" verrà utilizzato di volta in volta anziché "logaritmo", sono intercambiabili.

stadi

Preliminare: sapere come trasformare un'equazione logaritmica in un'equazione con poteri

1. 
   

   
   Cominciamo con la definizione di logaritmo. Se stai cercando di calcolare i logaritmi, sappi che non sono altro che un modo speciale di esprimere poteri. Partiamo da una delle condizioni classiche del logaritmo:
   • y = log_B (X)
     • se e solo se: b = x
   • B è la base del logaritmo. Devono essere soddisfatte due condizioni:
     • b> 0 (b deve essere strettamente positivo)
     • B non deve essere uguale a 1
   • In notazione esponenziale (seconda equazione sopra), ci è il potere e x è la cosiddetta espressione esponenziale, in effetti il ​​valore di cui si cerca il registro.

2. 
   

   
   
   
   Osserva attentamente l'equazione. Di fronte a un'equazione logaritmica, dobbiamo identificare la base (b), la potenza (y) e l'espressione esponenziale (x).
   • esempio : 5 = registro₄(1024)
     • b = 4
     • y = 5
     • x = 1024

3. 
   

   
   Posiziona l'espressione esponenziale su un lato dell'equazione. Posiziona, ad esempio, il tuo valore x a sinistra del segno "=".
   • esempio : 1024 = ?

4. 
   

   
   Sollevare la base alla potenza indicata. Il valore assegnato al database (B) deve essere moltiplicato da solo tutte le volte che la potenza indica (ci).
   • esempio : 4 x 4 x 4 x 4 x 4 =?
     • In breve, questo dà: 4

5. 
   

   
   
   
   Scrivi la tua risposta Ora puoi riscrivere il logaritmo in notazione esponenziale. Assicurati che l'uguaglianza sia corretta rifando il calcolo.
   • esempio : 4 = 1024

Metodo 1 Trova x

1. 
   

   
   Isolare il logaritmo. L'obiettivo è infatti quello di isolare per la prima volta il registro. Per questo, passiamo tutti i membri non logaritmici sull'altro lato dell'equazione. Non dimenticare di invertire i segni operativi!
   • esempio : log₃(x + 5) + 6 = 10
     • log₃(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
     • log₃(x + 5) = 4

2. 
   

   
   Scrivi l'equazione in forma esponenziale. Per poter trovare "x", dovrai passare dalla notazione logaritmica alla notazione esponenziale, quest'ultima essendo più facile da risolvere.
   • esempio : log₃(x + 5) = 4
     • A partire dall'equazione teorica y = log_B (X)], applicalo al nostro esempio: y = 4; b = 3; x = x + 5
     • Scrivi l'equazione come: b = x
     • Otteniamo qui: 3 = x + 5

3. 
   

   
   trovare x. Ora ti trovi di fronte a un'equazione di primo grado, che è facile da risolvere. Potrebbe essere di secondo o terzo grado.
   • esempio : 3 = x + 5
     • (3) (3) (3) (3) = x + 5
     • 81 = x + 5
     • 81-5 = x + 5-5
     • 76 = x

4. 
   

   
   Inserisci la tua risposta definitiva. Il valore che hai trovato per "x" è la risposta alla tua equazione logaritmica: log₃(x + 5) = 4.
   • esempio : x = 76

Metodo 2 Trova x utilizzando la regola del prodotto logaritmico

1. 
   

   
   È necessario conoscere la regola relativa al prodotto (moltiplicazione) dei registri. Secondo la prima proprietà dei registri, quella che riguarda il prodotto dei registri (dello stesso sentend di base!), Il registro di un prodotto è uguale alla somma dei registri degli elementi del prodotto. illustrazione:
   • log_B(m x n) = log_B(m) + log_B(N)
   • Devono essere soddisfatte due condizioni:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Isolare i registri su un lato dell'equazione. L'obiettivo è infatti quello di isolare inizialmente i registri. Per questo, passiamo tutti i membri non logaritmici sull'altro lato dell'equazione. Non dimenticare di invertire i segni operativi!
   • esempio : log₄(x + 6) = 2 - registro₄(X)
     • log₄(x + 6) + log₄(x) = 2 - registro₄(x) + log₄(X)
     • log₄(x + 6) + log₄(x) = 2

3. 
   

   
   Applicare la regola relativa al prodotto dei registri. Qui lo applicheremo nella direzione opposta, vale a dire che la somma dei registri è uguale al registro del prodotto. Cosa ci dà:
   • esempio : log₄(x + 6) + log₄(x) = 2
     • log₄ = 2
     • log₄(x + 6x) = 2

4. 
   

   
   Riscrivi l'equazione con i poteri. Ricordiamo che un'equazione logaritmica può essere trasformata in un'equazione con esponenti. Come prima, passeremo alla notazione esponenziale per aiutare a risolvere il problema.
   • esempio : log₄(x + 6x) = 2
     • Partendo dall'equazione teorica, appliciamola al nostro esempio: y = 2; b = 4; x = x + 6x
     • Scrivi l'equazione come: b = x
     • 4 = x + 6x

5. 
   

   
   trovare x. Ora ti trovi di fronte a un'equazione di secondo grado, che è facile da risolvere.
   • esempio : 4 = x + 6x
     • (4) (4) = x + 6x
     • 16 = x + 6x
     • 16-16 = x + 6x - 16
     • 0 = x + 6x - 16
     • 0 = (x - 2) (x + 8)
     • x = 2; x = -8

6. 
   

   
   Scrivi la tua risposta Spesso, abbiamo due risposte (radici). Dovrebbe essere verificato nell'equazione iniziale se questi due valori sono adatti. In effetti, non possiamo calcolare il registro di un numero negativo! Inserisci l'unica risposta valida.
   • esempio : x = 2
   • Non lo ricorderemo mai abbastanza: il registro di un numero negativo non esiste, quindi puoi, qui, chiudere - 8 come soluzione. Se prendessimo -8 come risposta, nell'equazione di base, avremmo: log₄(-8 + 6) = 2 - registro₄(-8), ovvero registro₄(-2) = 2 - log₄(-8). Impossibile calcolare il registro di un valore negativo!

Metodo 3 Trova x usando t la regola del quoziente logaritmico

1. 
   

   
   È necessario conoscere la regola relativa alla divisione dei registri. Secondo la seconda proprietà dei registri, quella che riguarda la divisione dei registri (dello stesso sentend di base!), Il registro di un quoziente è uguale alla differenza del registro del numeratore e del registro del denominatore. illustrazione:
   • log_B(m / n) = log_B(m) - registro_B(N)
   • Devono essere soddisfatte due condizioni:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Isolare i registri su un lato dell'equazione. L'obiettivo è infatti quello di isolare inizialmente i registri. Per questo, passiamo tutti i membri non logaritmici sull'altro lato dell'equazione. Non dimenticare di invertire i segni operativi!
   • esempio : log₃(x + 6) = 2 + registro₃(x - 2)
     • log₃(x + 6) - registro₃(x - 2) = 2 + registro₃(x - 2) - registro₃(x - 2)
     • log₃(x + 6) - registro₃(x - 2) = 2

3. 
   

   
   Applicare la regola del quoziente di registro. Qui lo applicheremo nella direzione opposta, vale a dire che la differenza dei registri è uguale al registro del quoziente. Cosa ci dà:
   • esempio : log₃(x + 6) - registro₃(x - 2) = 2
     • log₃ = 2

4. 
   

   
   Riscrivi l'equazione con i poteri. Ricordiamo che un'equazione logaritmica può essere trasformata in un'equazione con esponenti. Come prima, passeremo alla notazione esponenziale per aiutare a risolvere il problema.
   • esempio : log₃ = 2
     • Partendo dall'equazione teorica, appliciamola al nostro esempio: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
     • Scrivi l'equazione come: b = x
     • 3 = (x + 6) / (x - 2)

5. 
   

   
   trovare x. Ora che non ci sono più registri, ma poteri, dovresti trovarli facilmente x.
   • esempio : 3 = (x + 6) / (x - 2)
     • (3) (3) = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 (x - 2) = (x - 2) & mdash; moltiplichiamo entrambi i lati per (x - 2)
     • 9x - 18 = x + 6
     • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
     • 8x = 24
     • 8x / 8 = 24/8
     • x = 3

6. 
   

   
   Inserisci la tua risposta definitiva. Riprendi i tuoi calcoli ed effettua un controllo. Quando sei sicuro della tua risposta, scrivila definitivamente.
   • esempio : x = 3